Elaboración de Código

En la siguiente sección deberá resolver cada uno de los experimentos computacionales a través de la programación en R. Para esto se le aconseja que cree funciones en R, ya que le facilitará la ejecución de gran parte de lo solicitado.

Para el desarrollo preste mucha atención en los enunciados, ya que se le solicitará la implementación de métodos sin uso de funciones predefinidas. Por otro lado, Las librerías permitidas para desarrollar de la tarea 3 son las siguientes:

# Manipulación de estructuras
library(tidyverse)
library(dplyr)
library(tidyr)

# Para realizar plots
library(scatterplot3d)
library(ggplot2)
library(plotly)

# Manipulación de varios plots en una imagen.
library(gridExtra)

Z-test

En clases se han visto diferentes tipos de test de hipótesis para demostrar una proposición sobre algún parámetro. Uno de los test vistos en clases es el Z-Test, el cual su distribución del test estadístico bajo la hipótesis nula se puede aproximar a una Gaussina. Para la aplicación de este test, resaltan los siguientes puntos:

Cada uno de los puntos de la muestra deben ser independientes unos de otros.
Al utilizar una distribución normal en la hipótesis nula, este test debería utilizarse cuando se tiene un número considerable de observaciones, ya que la sampling distribution de la media tiende a una gaussiana, de lo contrario se debería usar un T-test.

Para calcular la significancia estadística al igual que con otros métodos esta se debe calcular como:

Menor/Cola-Izquierda (one-tailed): La Hipótesis Nula H0: \(\mu \geq \mu0\) vs Hipótesis Alternativa H1: \(\mu < \mu0\).
Superior/Cola-Derecha (one-tailed): La Hipótesis Nula H0: \(\mu \leq \mu0\) vs Hipótesis Alternativa H1: \(\mu > \mu0\).
Dos-Colas/Two-tailed: Hipótesis Nula H0: \(\mu = \mu0\) vs Hipótesis Alternativa H1: \(\mu \neq \mu0\).

Luego, dependiendo del objetivo del test tenemos las metodologías one-sample y two-sample. Utilizaremos One-Sample cuando nuestro objetivo es comparar la media de una muestra con la media de la población. El Z-score del One-Sample se define como:

\[Z-score_{One-Sample} = \dfrac{\bar x - \mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt n}}\] Donde \(\bar x\) es la media de la muestra, \(\mu\) es la media de la población, \(\sigma\) es la desviación estándar de la población y \(n\) es el tamaño de la muestra.

Por otro lado, se utiliza Two-Sample cuando queremos comparar la media de dos muestras. El Z-score de Two-Sample se define con la ecuación:

\[Z-score_{Two-Sample} = \dfrac{(\bar x_1 - \bar x_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{(\dfrac{\sigma_1}{\sqrt n_1}+\dfrac{\sigma_2}{ n_2}})}\] Donde \((\bar x_2 - \bar x_1)\) es la diferencia de las medias de la muestra, \((\mu_1 - \mu_2)\) la diferencia de las medias de la población, \(\sigma_{1,2}\) la desviación estándar de la población y \(n_{1,2}\) el tamaño de las muestras.

Multiples Test

En la práctica aparece la necesidad de testear múltiples hipótesis (por ejemplo en biología se pueden utilizar múltiples grupos de control o querer estudiar múltiples resultados de un mismo experimento), de esta forma la primera idea es testear individualmente cada una de las hipótesis, el problema de este enfoque es que la probabilidad de que se obtenga al menos un resultado significante crece rápidamente (con un nivel de significancia \(\alpha = 0.05\) y \(20\) test ya se alcanza una probabilidad de \(64\%\) de tener resultados significantes por azar).

Una forma de corregir los inconvenientes del método anterior es utilizar el método de Bonferroni correction quien propone cambiar \(\alpha\) por \(\alpha/m\) (donde \(m\) es la cantidad de test de hipotesis realizados), esto resulta que las probabilidades de rechazar por error se mantengan bajas. De esta forma los p-valores obtenidos en un test de hipótesis y al utilizar Bonferroni correction, quedan dados por el producto de un \(p-valor_{i}\) y la cantidad de test realizados: \(\text{p-valor}_{i}*m\).

Pregunta 1: “I´ve Got The Power!”

El objetivo de esta pregunta es programar la potencia de un test de hipótesis y observar como se comportan las la hipótesis nula v/s la alternativa para un Z-test. Con el desarrollo de este ejercicio, podrán visualizar las diferentes partes que conforman a un test de hipótesis, identificar que es el p-valor y evidenciar como varia la potencia de un test one-sample y two-sample al variar \(\alpha\).

Para recordar; sabemos que en estadística el concepto de potencia viene dado por:

\[Power = 1 - \beta\]

Donde \(\beta\) es la probabilidad de obtener un error de tipo II. Con esto, la potencia estadística viene a representar la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando esta es falsa. O sea, la potencia de una prueba es la probabilidad de encontrar un resultado positivo dado que este existe. Una de las formas de representar la potencia de un test es a través del siguiente gráfico:

Del gráfico, es posible visualizar que a medida que aumenta la diferencia en la media de la población, se obtienen mayores valores de potencia estadística.

Recordada que es la potencia de un test de hipótesis, a continuación, usted deberá programar una función que sea capaz de obtener la potencia de un Z-test one-sample y two-sample. Para esto por favor considere los siguientes puntos:

Crear una función que posea los siguientes argumentos:

    function(n1=NULL, sigma1=0.5, 
    n2=NULL,sigma2=0.5, mu.Ha=0 , 
    mu.True=0, alfa=0.05)

De los argumentos, tendremos que: \(n1\) representa la cantidad de datos para la muestra 1, \(sigma1\) es la desviación estándar de la muestra 1, \(n2\) la cantidad de datos para la muestra 2, \(sigma2\) la desviación estándar para la muestra 2, \(mu.Ha\) el mu del test de hipótesis y \(mu.True\) la media de la población real. Notar que la presencia de una segunda muestra solo es para el caso two-sample, para el caso one-sample el argumento de entrada \(n2\) debería ser nulo.

La función creada debe ser capaz de calcular el Z-test con el método One-sided (utilice solo la cola superior de la alternativa one-sided). Notar que la función al recibir un argumento nulo en \(n2\) debería asumir que se trata de un test one-sample automáticamente.
Al recibir un valor no nulo para \(n2\), \(mu.Ha\) representará la diferencia entre las medias de las muestras y \(mu.True\) la diferencia de las medias de la población de las muestras 1 y 2.
La salida de la función deberá retornar la potencia del test y un plot de las gaussianas que conforman el test de hipótesis. Para el caso del plot, observe los ejemplos de plot dispuestos más abajo.
Si utiliza el esqueleto propuesto, complete y comente que realiza cada una de las partes de la función one-sample entregada.

Codificada la función realice los siguientes experimentos:

Obtener el gráfico de potencia al variar la media poblacional para los siguientes argumentos de entrada:

\[ n1=16, sigma1=16, mu.Ha=100 , mu.True=Variar, alfa=0.05 \] \[ n1=16, sigma1=16, mu.Ha=100 , mu.True= Variar, alfa=0.01 \] \[ n1=16, sigma1=16, mu.Ha=100 , mu.True= Variar, alfa=0.1 \]

Se le recomienda que la variación se realice a través de un for y grafique las curvas dentro de un mismo gráfico para observar potenciales diferencias entre ellas.

Diseñe un experimento one-sample y visualice cómo se comportan las distribuciones normales de la hipótesis nula y la hipótesis alternativa al variar \(\alpha\).
Diseñe un experimento Two-sample y visualice cómo se comportan las distribuciones normales de la hipótesis nula y la hipótesis alternativa al variar \(\alpha\).

Para el diseño de experimentos y/o comprobación de sus métodos puede serles útiles (no hay problema si decide utilizar los mismos ejemplos):

one-sample: Power Functions
Two-Sample: Simple Power Calculation for Two-Sample Z Test

Respuesta

# Power Function, El esqueleto posee como ejemplo como obtener la potencia de un z-test one-sample.
# Si utiliza este esqueleto deberá comentar la función que cumple cada una de las partes entregadas
power.z.test <- function(n1=NULL, sigma1=0.5, 
                         n2=NULL,sigma2=0.5, mu.Ha=0 , 
                         mu.True=0, alfa=0.05){
  if(){
    # 
    Z = qnorm(1-alfa)
    
    denominador = sigma1/sqrt(n1)
    X_bar = Z*denominador + mu.Ha
    
    numerador = X_bar - mu.True
    Z = numerador/denominador
    Power = 1 - pnorm(Z)
    
    # 
    min_lim = min(rnorm(1000, mean=mu.Ha, sd=denominador)) - 
      round(min(rnorm(1000, mean=mu.Ha, sd=denominador)))%%10
    max_lim = max(rnorm(1000, mean=mu.True, sd=denominador)) +
      round(max(rnorm(1000, mean=mu.True, sd=denominador)))%%10
      
    # 
    plot <- ggplot(data.frame(x = c(min_lim, max_lim)), aes(x)) + 
      stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = mu.Ha, sd = denominador), 
                    col='red') +
      stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = mu.True, sd = denominador), 
                    col='blue') +
      stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = mu.True, sd = denominador), 
                    xlim = c(X_bar,max_lim), geom = "area", fill='red') + 
      geom_vline(xintercept = X_bar, linetype="dotted", size=1) +
      annotate(x=X_bar, y=+Inf,label="alpha", vjust=2, geom="label") +
      theme_minimal() +
      ggtitle("H0 vs Ha") +
      xlab(expression(bar(X))) + ylab("Density")
    }
  }
  
  if(){
    #
    
    # 
    if(plot.hypothesis){
      
      # 
      
      # 
      plot = ...
    }
  }
  
  # Como R no permite retornar dos salidas usamos una lista
  # Los resultados se llaman con $plot o $power
  return(list(plot=plot,power=Power))
}


# Plot de gráfico de potencia

# Experimentos

Pregunta 2: Z-test

Esta pregunta tiene como objetivo comprender como funciona un test de hipótesis y como deberíamos abordar la realización de múltiples test de hipótesis con datos reales.

La pregunta deberá ser desarrollada utilizando el dataset marketing_campaign.csv. Con esto, deberá programar un Z-test, con el cual estudiará a través de experimentos el Income de personas con los grados académicos Graduation, Master y PhD. Para realizar esto considere la elaboración de los siguientes puntos de forma secuencial:

Modificar el dataframe entregado generando un estructura apta para el test de hipótesis. Una estructura que se les aconseja utilizar son vectores con los valores que representan a los grados académicos Graduation, Master y PhD por separado.

Ejemplo de estructura

Por ejemplo para el caso de Graduation pueden generar estructuras de la siguiente forma:

ID	Graduation
5524	58138
2174	46344
4141	71613
6182	26646
965	55635
…	…

Donde los valores en la fila de Graduation representan los sueldos de las diferentes personas que conforman el dataset. Un punto importante a considerar es que los datos para los diferentes grados académicos poseen diferentes numero de datos (no se asusten por esto).

Programar el método Z-test con la metodología one sample y two sample, obteniendo los p-valores a través de las alternativas one-sided y two-sided. Para el caso de one-sided, cree una función capaz de obtener la cola menor y mayor de la gaussiana.
El calculo de las diferentes alternativas para calcular los p-valores deberá ser un argumento de su función, donde señalando ‘menor’,‘mayor’ (para los casos one-sided) y ‘two-sided’ deberá obtener el valor pertinente para cada caso.
Genere una función que permita realizar solo múltiples test del tipo two-sample y aplique bonferroni correction a los p-valores obtenidos. Notar que los múltiples test deberá realizar la comparación entre todos los elementos de entrada, por ejemplo si deseamos comparar los ingresos de Graduation, Master y PhD, se deberían comparar los ingresos de Graduation v/s Master, Graduation v/s PhD y Master y PhD

Codificada las funciones, realice los siguientes experimentos con su función de test de hipótesis:

Compruebe si la media de los ingresos para la variable Graduation es similar a 52000. Señale formalmente este experimento y obtenga los p-valores para las alternativas one-sided y two-sided.
Compruebe si la diferencia entre los ingresos de las personas con el grado académico Graduation es cercana a cero en relación a la recibida por los Master y PhD. Para este punto utilice la función que le permite realizar múltiples test del tipo two-sample.

Para los diferentes experimentos considere que la desviación estandar de la población para los diferentes income son los siguientes:

\[\sigma_{Graduation} = 28180\] \[\sigma_{Master} = 20160\] \[\sigma_{PhD} = 20615\]

Respuesta:

Importación y primera visualización de los datos

df = read.csv('marketing_campaign.csv', sep='\t')
graduation <- df[df$Education == "Graduation", "Income"]
master <- df[df$Education == "Master", "Income"]
phd <- df[df$Education == "PhD", "Income"]
head(df)

Definición de la función z_test

# Implementación de Z-test one-sided y two-sided
z_test <- function(data1 = NULL, data1_name = NULL, sigma1 = 0.5,
                   data2 = NULL, data2_name = NULL, sigma2 = 0.5,
                   mu1 = 0, mu2 = 0, verbose = TRUE,
                   test_type = c("one-sided", "two-sided")) {

  # Condiciones para evitar errores en la función
  length_test_type_condition <- length(test_type) == 1
  name_test_type_condition <- (test_type %in% c("menor", "mayor", "two-sided"))
  if (!(length_test_type_condition && name_test_type_condition)) {
    print("Por favor escoge un tipo de Test: ´mayor´, ´menor´ o ´two-sided´ ")
    return()
  } else if (is.null(data1)) {
    print("Por favor ingresa algún valor en data1")
    return()
  }

  # Nombre data1
  if (is.null(data1_name))
    data_deparse <- deparse(substitute(data1))
  else
    data_deparse <- data1_name

  # Z-Score
  if (is.null(data2)) {
    mean_data <- mean(data1, na.rm = TRUE)
    z_score <- (mean_data - mu1) / (sigma1 * sqrt(length(data1)))
    output <- "One"
  } else {
    mean_data1 <- mean(data1, na.rm = TRUE)
    mean_data2 <- mean(data2, na.rm = TRUE)
    n_1 <- length(data1)
    n_2 <- length(data2)
    mean_diff <- (mean_data1 - mean_data2) - (mu1 - mu2)
    z_score <- mean_diff / sqrt(sigma1^2 / n_1 + sigma2^2 / n_2)

    # Nombre data2
    output <- "Two"
    if (is.null(data2_name))
      data_deparse <- paste(data_deparse, "y", deparse(substitute(data2)))
    else
      data_deparse <- paste(data_deparse, "y", data2_name)
  }

  # P-Value
  if (test_type == "menor")
    p_value <- pnorm(z_score)

  else if (test_type == "mayor")
    p_value <- 1 - pnorm(z_score)

  else if (test_type == "two-sided")
    p_value <- 2 * pnorm(-abs(z_score))

  # Texto de Salida
  if (verbose) {
    cat("\n\t", output, "-sample Z-Test:\n\nData analizada: ",
      data_deparse, "\nZ = ", z_score,
      " P-value = ", p_value,
      "\n\n", sep = ""
    )
  }

  return(p_value)
}

Implementación de la función z_test_multiple_testing, la cual llama a la función anterior z_test

z_test_multiple_testing <- function(data = NULL, sigma = NULL,
                                    test_type = c("one-sided", "two-sided"),
                                    verbose = TRUE) {

  # Condiciones para evitar errores en la función
  length_test_type_condition <- length(test_type) == 1
  name_test_type_condition <- (test_type %in% c("menor", "mayor", "two-sided"))
  nullity_condition <- is.null(data) || is.null(sigma)
  dimension_condition <- !nullity_condition && (length(data) == length(sigma))
  if (!(length_test_type_condition && name_test_type_condition)) {
    print("Por favor escoge un tipo de Test: ´mayor´, ´menor´ o ´two-sided´ ")
    return()
  } else if (!dimension_condition) {
    cat(
      "Cantidad incompatible de datos y sigmas\n",
      "length(data) = ", length(data), "\n",
      "length(sigma) = ", length(sigma), "\n\n", sep = ""
    )
  }

  # Nombres de los datos estudiados
  data_names <- sapply(substitute(data), deparse)[-1]
  m <- 0

  # Cálculo del p-value para cada par de datos
  indexes <- seq_along(data)
  p_value_list <- list()
  for (i in indexes) {
    for (j in indexes) {
      if (j <= i)
        next
      var1 <- data_names[i]
      var2 <- data_names[j]
      p_value <- z_test(
        data1 = data[[i]], data2 = data[[j]],
        data1_name = var1, data2_name = var2,
        sigma1 = sigma[i], sigma2 = sigma[j],
        test_type = test_type, verbose = verbose
      )
      key <- paste(var1, "_", var2, sep = "")
      p_value_list[key] <- p_value
      m <- m + 1
    }
  }
  # Corrección de Bonferroni
  p_value_list <- lapply(p_value_list, FUN = function(x) x * m)
  return(p_value_list)
}

Para realizar el primer experimento, el cual consiste en determinar si la media de la variable Graduation es similar a 52000, realizaremos 3 tests de hipótesis, siempre considerando que \(\mu_{Grad}\) es la media de la variable Graduation, \(\mu_0 = 52000\) y \(\alpha = 0.05\).

Para el primer test, se usarán las siguientes hipótesis: \[H_0 : \mu_{Grad} = 52000\] \[H_a : \mu_{Grad} \neq 52000\]

Para este test, ya que la hipótesis nula \(H_0\) tiene una igualdad, se utilizará un test de dos colas.

p_value <- z_test(data1 = graduation, mu1 = 52000,
            test_type = "two-sided", sigma1 <- 28180,
            data1_name = "graduation")

## 
##  One-sample Z-Test:
## 
## Data analizada: graduation
## Z = 0.0007614736 P-value = 0.9993924

output <- if (p_value <= 0.05) "Se rechaza" else "No se rechaza"

cat(output, "la hipótesis nula a un nivel de 5%")

## No se rechaza la hipótesis nula a un nivel de 5%

Para el segundo test, se usarán las siguientes hipótesis: \[H_0 : \mu_{Grad} \geq 52000\] \[H_a : \mu_{Grad} < 52000\]

Para este test, ya que la hipótesis nula \(H_0\) tiene un \(\geq\), se utilizará un test de una cola izquierda.

p_value <- z_test(data1 = graduation, mu1 = 52000,
            test_type = "menor", sigma1 <- 28180,
            data1_name = "graduation")

## 
##  One-sample Z-Test:
## 
## Data analizada: graduation
## Z = 0.0007614736 P-value = 0.5003038

output <- if (p_value <= 0.05) "Se rechaza" else "No se rechaza"

cat(output, "la hipótesis nula a un nivel de 5%")

## No se rechaza la hipótesis nula a un nivel de 5%

Finalmente, para el tercer test, se usarán las siguientes hipótesis: \[H_0 : \mu_{Grad} \leq 52000\] \[H_a : \mu_{Grad} > 52000\]

Para este test, ya que la hipótesis nula \(H_0\) tiene un \(\leq\), se utilizará un test de una cola derecha.

p_value <- z_test(data1 = graduation, mu1 = 52000,
            test_type = "mayor", sigma1 <- 28180,
            data1_name = "graduation")

## 
##  One-sample Z-Test:
## 
## Data analizada: graduation
## Z = 0.0007614736 P-value = 0.4996962

output <- if (p_value <= 0.05) "Se rechaza" else "No se rechaza"

cat(output, "la hipótesis nula a un nivel de 5%")

## No se rechaza la hipótesis nula a un nivel de 5%

De estos 3 tests se puede concluir que, como la hipótesis nula nunca se rechazó, entonces se acepta como la correcta. Es decir, la media de la variable Graduation es similar a 52000.

Para estudiar la diferencia entre los ingresos de las personas dependiendo del grado académico, se va a realizar un test múltiple sobre los siguientes conjuntos de hipótesis:

Sean \(\mu_{grad}\), \(\mu_{master}\) y \(\mu_{phd}\) las medias de los datos y \(\alpha = 0.05\)

\[\begin{cases} H_1: \mu_{grad} = \mu_{master} \\ \bar{H_1}: \mu_{grad} \neq \mu_{master} \end{cases}\]

\[\begin{cases} H_2: \mu_{grad} = \mu_{phd} \\ \bar{H_2}: \mu_{grad} \neq \mu_{phd} \end{cases}\]

\[\begin{cases} H_3: \mu_{master} = \mu_{phd} \\ \bar{H_3}: \mu_{master} \neq \mu_{phd} \end{cases}\]

p_values_list <- z_test_multiple_testing(
                    data = list(graduation, master, phd),
                    sigma = c(28180, 20160, 20615),
                    test_type = "two-sided"
)

## 
##  Two-sample Z-Test:
## 
## Data analizada: graduation y master
## Z = -0.1468296 P-value = 0.8832666
## 
## 
##  Two-sample Z-Test:
## 
## Data analizada: graduation y phd
## Z = -2.725542 P-value = 0.0064196
## 
## 
##  Two-sample Z-Test:
## 
## Data analizada: master y phd
## Z = -2.298014 P-value = 0.021561

grad_master_text <- if (p_values_list["graduation_master"] <= 0.05) "Se" else "No se"
grad_phd_text <- if (p_values_list["graduation_phd"] <= 0.05) "Se" else "No se"
master_phd_text <- if (p_values_list["master_phd"] <= 0.05) "Se" else "No se"

cat("",
  grad_master_text, "rechaza H_1\n",
  grad_phd_text, "rechaza H_2\n",
  master_phd_text, "rechaza H_3\n"
)

##  No se rechaza H_1
##  Se rechaza H_2
##  No se rechaza H_3

Podemos notar que, dadas las hipótesis rechazadas y las que no, la media de los ingresos de las personas con grado Graduation es muy cercana a la media de las personas con grado Master, pero lejana a la media de las personas con grado PhD. No obstante, es importante recalcar que la media de los grado Master es cercana también a la media de los grado PhD, lo cual nos indica que la media de ingresos de Master está entre ambas, y por ello a una “distancia” razonable a las otras dos.

Pregunta 3: Testeando multiples hipotesis y Bonferroni Correction

El objetivo de este problema es estudiar como realizar múltiples test de hipótesis simultáneamente. Para esto en primer lugar se estudiara el método “intuitivo”, donde veremos sus limitantes y se comparará con el método llamado Bonferroni correction, posteriormente se realizará un estudio practico con el dataset ratones.csv.

Un investigador se ha colocado en contacto con ustedes señalándoles que realiza diariamente test de hipótesis entre las muestras que toma día a día en su laboratorio. Con esto, al investigador le urge saber si realizar multiples test de hipótesis sin una corrección podría afectar la toma de decisiones. Para comprobar esto, les solicita comprobar matemáticamente como se comporta la probabilidad de obtener al menos un resultado significativos al azar de sus experimentos diarios. Para esto, les señala que la la probabilidad de obtener un experimento por azar puede ser simulado a través de los casos exitosos de una binomial (valores mayores a cero), donde el numero de observaciones son la cantidad de experimentos (\(m\)) y la probabilidad queda dada por \(\alpha\) del test.

A continuación, se entregan unas indicaciones mas especificas para desarrollar la pregunta:

Complete el código presentado a continuación que le permite calcular la probabilidad empírica de que obtenga al menos un resultado significativo para significancia \(\alpha\) y cantidad de experimentos \(m\) arbitrarios.
Se puede verificar que para un nivel de significancia \(\alpha\) y \(m\) experimentos independientes la probabilidad de que se tenga al menos un resultado significativo por azar es \[\mathbb{P}(\text{obtener al menos resultado significativo por azar})=1-(1-\alpha)^{m}\]
Considere \(\alpha = 0.05\), grafique la probabilidad empírica y real variando el valor de \(m\) ¿Se parecen sus resultados? ¿Que sucede cuando la cantidad de experimentos crece mucho? ¿Este comportamiento depende del valor de significancia \(\alpha\)? ¿Es útil este método para la realización de múltiples test de hipótesis?
Para solucionar los inconvenientes del método anterior es posible utilizar el método de Bonferroni correction, modifique su código anterior para verificar lo anterior ¿Mejoran los resultados? ¿cual podría ser un problema si es que \(m\) es muy grande?
Ejecute el siguiente código que calcula el \(p\)-valor usual y el \(p\)-valor asociado a Bonferroni (que corresponde al \(p\)-valor * m donde \(m\) es el numero de experimentos), ¿Cuantos valores que originalmente se hubieran aceptado fueron rechazados si \(\alpha = 0.05\)? ¿Que implica esto sobre el nivel de falsos negativos de este metodo?

data <- read.csv("ratones.csv",sep= ";", stringsAsFactors = T)
head(data)

Respuesta Aquí:

probEmpirica <- function(alpha,m){
  n <- 10000 # Cantidad de veces que se va a repetir el experimento para estimar la probabilidad, pueden cambiar este valor si lo desean
  

  res <-... #Resultados de los experimentos
  
  # Puede agergar todo el codigo que estime conveniente para calcular la probabilidad empirica
  ...
  ...
  #
  prob <-... # Probabilidad empirica
  
  return(prob)
  
}

Pregunta 4: Regression Lineal sin comandos.

El objetivo de la siguiente pregunta es aplicar los conceptos de regresión lineal vistos en clases para implementar desde cero un función capaz de realizar una regresión simple y múltiple.

Para este problema, ustedes deberán estudiar el comportamiento de los clientes de un holding de salud. Para esto, se les hace entrega del dataset insurance.csv para que estudien la creación de un modelo lineal con sus datos. Antes de comenzar a trabajar, se señalan las diferentes variables que componen al dataset:

age: Señala la edad de cada uno de los sujetos.
sex: Si es mujer es igual a 1, si es hombre es igual a 0.
bmi: Indice de masa corporal del cliente.
children: Señala cuantos hijos tiene cada uno de los sujetos.
smoker: Variable binaria que cuando es 1 señala que el cliente es fumador (0 en caso contrario).
charges: Gastos médicos de cada uno de los clientes.

Es importante que considere que cada una de las filas representa un cliente distinto para el holding.

Dentro del estudio, el holding de salud le solicita estudiar los comportamientos de los clientes fumadores y no fumadores, por lo que se le aconseja separar el dataframe original en fumadores y no fumadores. En el estudio, realicen un modelo lineal que tiene como variable de respuesta a charges y los datos que mejor se correlacionan para los clientes fumadores y no fumadores. Para esto, deberán realizar las siguientes actividades:

Parte I

Programe un modelo lineal simple escogiendo la variable numérica que tiene mayor relación con la variable de respuesta. Recuerde justificar la elección de la variable numérica cuantitativamente.
Señale tanto el \(R^2\) como el \(R^2-adjustado\) del modelo.
Grafique el scatterplot de los datos y la linea que ajusta a la regresión lineal obtenida.

Parte II

Entrene un modelo lineal multivariable escogiendo dos variables numéricas que posean la mayor relación con charges.
Estudie si el modelo multivariable posee mejor desempeño que el modelo simple y comente los resultados. ¿Es recomendable la utilización de los modelos creados para la predicción de nuevas entradas?. Para este análisis puede utilizar los valores de test de hipótesis entregados por el comando lm(), ya que esto le servirá para observar si la regresión lineal es significativa.

Nota: No esta permitido utilizar comandos que obtengan los valores solicitados directamente a menos que se le permita en la pregunta.

Desarrollo:

El modelo lineal está implementado usando la formulación matemática de los coefficientes: \[\hat{\beta_1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}\\ \hat{\beta_0} = \bar{y} - \hat{\beta_1}\bar{x}\] donde \(\hat{\beta_0}\) es el intercepto y \(\hat{\beta_1}\) es la pendiente de la recta.

linear_regression <- function(data, target) {
  x_mean <- mean(data)
  y_mean <- mean(target)
  numerator <- sum((data - x_mean) * (target - y_mean))
  denominator <- sum((data - x_mean)^2)
  beta_1 <- numerator / denominator
  beta_0 <- y_mean - beta_1 * x_mean
  list("intercept" = beta_0, "slope" = beta_1)
}

Luego, se pasan las variables categóricas sex y region a variables dummy, para después separar los datos entre fumadores y no fumadores

data <- read.csv("insurance.csv")

# One Hot Encoding
data$female <- ifelse(data$sex == "female", 1, 0)
data$male <- ifelse(data$sex == "male", 1, 0)
data$southwest <- ifelse(data$region == "southwest", 1, 0)
data$southeast <- ifelse(data$region == "southeast", 1, 0)
data$northwest <- ifelse(data$region == "northwest", 1, 0)
data$northeast <- ifelse(data$region == "northeast", 1, 0)
data <- data[, !names(data) %in% c("sex", "region")]

# Separación de datos en 'smoker' y 'non_smoker'
smoker <- data[data$smoker == "yes", !names(data) == "smoker"]
non_smoker <- data[data$smoker == "no", !names(data) == "smoker"]

Una vez separados los datos, se obtiene la variable con mayor correlación a la variable charges, y se preparan los datos para ser ingresados al modelo lineal

get_max_correlation_column <- function(df, column) {
  cor_df <- as.data.frame(as.table(cor(df)))
  cor_df <- cor_df[cor_df$Var1 == column, ]
  cols <- c("Var1", "Var2")
  cor_df[cols] <- lapply(cor_df[cols], as.character)
  max_cor <- max(abs(cor_df[cor_df$Freq != 1, ]$Freq))
  variable <- cor_df[abs(cor_df$Freq) == max_cor, ]$Var2
  variable
}

smoker_variable <- get_max_correlation_column(smoker, "charges")
x_smoker <- smoker[, smoker_variable]
y_smoker <- smoker$charges

non_smoker_variable <- get_max_correlation_column(non_smoker, "charges")
x_non_smoker <- non_smoker[, non_smoker_variable]
y_non_smoker <- non_smoker$charges

Con los datos listos, los ingresamos al modelo lineal y graficamos los resultados

# Regresión Lineal para los datos 'smoker'
reg_smoker <- linear_regression(x_smoker, y_smoker)
slope_smoker <- reg_smoker$slope
intercept_smoker <- reg_smoker$intercept

plot(x_smoker, y_smoker, ylab = "charges", xlab = smoker_variable)
abline(a = intercept_smoker, b = slope_smoker, col = "red")
title("Linear Regression for 'smokers'")

# Regresión Lineal para los datos 'non_smoker'
reg_non_smoker <- linear_regression(x_non_smoker, y_non_smoker)
slope_non_smoker <- reg_non_smoker$slope
intercept_non_smoker <- reg_non_smoker$intercept

plot(x_non_smoker, y_non_smoker, ylab = "charges", xlab = non_smoker_variable)
abline(a = intercept_non_smoker, b = slope_non_smoker, col = "red")
title("Linear Regression for 'non_smokers'")

Veamos el coeficiente \(R^2\) para cada caso

# Coeficiente R2 para 'smokers'
y_hat_smoker <- intercept_smoker + slope_smoker * x_smoker
SST_smoker <- sum((y_smoker - mean(y_smoker))^2)
SSE_smoker <- sum((y_smoker - y_hat_smoker)^2)
R2_smoker <- 1 - (SSE_smoker / SST_smoker)
print(sprintf("R2 for 'smoker': %.3f", R2_smoker))

## [1] "R2 for 'smoker': 0.650"

# Coeficiente R2 para 'non_smokers'
y_hat_non_smoker <- intercept_non_smoker + slope_non_smoker * x_non_smoker
SST_non_smoker <- sum((y_non_smoker - mean(y_non_smoker))^2)
SSE_non_smoker <- sum((y_non_smoker - y_hat_non_smoker)^2)
R2_non_smoker <- 1 - (SSE_non_smoker / SST_non_smoker)
print(sprintf("R2 for 'non_smoker': %.3f", R2_non_smoker))

## [1] "R2 for 'non_smoker': 0.394"

Ahora el coeficiente \(\bar{R^2}\), o \(R^2\) ajustado

# Coeficiente R2 ajustado para 'smokers'
n_smoker <- length(y_smoker)
R2_adj_smoker <- 1 - (1 - R2_smoker) * (n_smoker - 1) / (n_smoker - 2)
print(sprintf("R2 ajustado for 'smoker': %.3f", R2_adj_smoker))

## [1] "R2 ajustado for 'smoker': 0.649"

# Coeficiente R2 ajustado para 'non_smokers'
n_non_smoker <- length(y_non_smoker)
R2_adj_non_smoker <- 1 - (1 - R2_non_smoker) * (n_non_smoker - 1) / (n_non_smoker - 2)
print(sprintf("R2 ajustado for 'non_smoker': %.3f", R2_adj_non_smoker))

## [1] "R2 ajustado for 'non_smoker': 0.394"

Ahora, se implementará el modelo lineal con dos variables. Para esto, se modificó la función que encuentra las variables con mayor correlación con la variable charges y la función que encuentra el modelo lineal, ya que ahora para encontrar el vector \(\hat{\beta}\) se usó la siguiente ecuación: \[\hat{\beta} = (X^TX)^{-1}XY\]

get_max_correlation_column <- function(df, column) {
  cor_df <- as.data.frame(as.table(cor(df)))
  cor_df <- cor_df[cor_df$Var1 == column, ]
  cols <- c("Var1", "Var2")
  cor_df[cols] <- lapply(cor_df[cols], as.character)
  max_cor_1 <- max(abs(cor_df[cor_df$Freq != 1, ]$Freq))
  next_max <- abs(cor_df$Freq) < abs(max_cor_1)
  max_cor_2 <- max(abs(cor_df[next_max, ]$Freq))
  variable_1 <- cor_df[abs(cor_df$Freq) == max_cor_1, ]$Var2
  variable_2 <- cor_df[abs(cor_df$Freq) == max_cor_2, ]$Var2
  list("var1" = variable_1, "var2" = variable_2)
}

linear_regression_multivar <- function(data, target) {
  matrix_data <- data.matrix(data)
  colnames(matrix_data) <- NULL
  beta <- solve(t(matrix_data) %*% matrix_data) %*% t(matrix_data) %*% target
  list("beta_0" = beta[1], "beta_1" = beta[2], "beta_2" = beta[3])
}

Luego se entrenó el modelo

smoker_variables <- get_max_correlation_column(smoker, "charges")
non_smoker_variables <- get_max_correlation_column(non_smoker, "charges")

# Entrenamiento para 'smoker'
x_smoker <- data.matrix(smoker[, names(smoker) %in% smoker_variables])
# Se agrega una columna de 1's al principio
x_smoker <- cbind(rep(1, nrow(x_smoker)), x_smoker)
y_smoker <- smoker[, "charges"]
reg_smoker <- linear_regression_multivar(x_smoker, y_smoker)
beta_smoker <- unlist(reg_smoker)
y_hat_smoker <- x_smoker %*% beta_smoker
SST_smoker <- sum((y_smoker - mean(y_smoker))^2)
SSE_smoker <- sum((y_smoker - y_hat_smoker)^2)
R2_smoker <- 1 - (SSE_smoker / SST_smoker)
n_smoker <- length(y_smoker)
R2_adj_smoker <- 1 - (1 - R2_smoker) * (n_smoker - 1) / (n_smoker - 3)
writeLines(sprintf("R2 for 'smoker': %.3f\nR2 ajustado for 'smoker': %.3f", R2_smoker, R2_adj_smoker))

## R2 for 'smoker': 0.753
## R2 ajustado for 'smoker': 0.751

# Entrenamiento para 'non_smoker'
x_non_smoker <- data.matrix(non_smoker[, names(non_smoker) %in% non_smoker_variables])
# Se agrega una columna de 1's al principio
x_non_smoker <- cbind(rep(1, nrow(x_non_smoker)), x_non_smoker)
y_non_smoker <- non_smoker[, "charges"]
reg_non_smoker <- linear_regression_multivar(x_non_smoker, y_non_smoker)
beta_non_smoker <- unlist(reg_non_smoker)
y_hat_non_smoker <- x_non_smoker %*% beta_non_smoker
n_non_smoker <- length(y_non_smoker)
R2_adj_non_smoker <- 1 - (1 - R2_non_smoker) * (n_non_smoker - 1) / (n_non_smoker - 3)
writeLines(sprintf("R2 for 'non_smoker': %.3f\nR2 ajustado for 'non_smoker': %.3f", R2_non_smoker, R2_adj_non_smoker))

## R2 for 'non_smoker': 0.394
## R2 ajustado for 'non_smoker': 0.393

Notemos que para el caso de los datos para fumadores, el coeficiente \(\bar{R^2}\) aumenta al agregar una nueva variable a la regresión, lo que indica que el modelo multivariable se desempeña mejor que el univariable en este caso.
Para los datos de los no fumadores, el coeficiente \(\bar{R^2}\) se mantiene prácticamente igual, lo que indica que no hubo un mejor desempeño y que con el modelo univariable basta para tener una predicción de los datos.

Veamos ahora qué pasa cuando aplicamos la función lm() a ambos conjuntos de datos con las dos variables de entrada.

Primero, creamos una función que extrae el p-value de un modelo lm()

get_p_value <- function(model) {
  f_stat <- summary(model)$fstatistic
  p_value <- pf(f_stat[1], f_stat[2], f_stat[3], lower.tail = FALSE)
  attributes(p_value) <- NULL
  return(p_value)
}

Luego, extraemos los p-value para cada caso de los datos divididos en smoke con las variables age y bmi, y non_smoke con las variables age y children

smoker <- data[data$smoker == "yes", names(data) %in% c("age", "bmi", "charges")]
non_smoker <- data[data$smoker == "no", names(data) %in% c("age", "children", "charges")]

reg_smoke <- lm(formula = charges ~ bmi + age, data = smoker)
reg_non_smoke <- lm(formula = charges ~ children + age, data = non_smoker)

p_value_smoke <- get_p_value(reg_smoke)
p_value_non_smoke <- get_p_value(reg_non_smoke)

cat("P-value para 'smoke': ", p_value_smoke, "\n",
    "P-value para 'non_smoke': ", p_value_non_smoke, "\n",
    sep = "")

## P-value para 'smoke': 4.499528e-83
## P-value para 'non_smoke': 1.320023e-121

Dado que los p-value de los modelos son muy bajos, podemos afirmar que la regresión lineal es significativa, y que es recomendable utilizar los modelos para valores nuevos entrantes.

A work by CC6104

Tarea 3

Tarea 3: Frequentist Inference II

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